已知0<a<1求证:1/a+4/(1-a)≥9

1. 如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了：
(1)柯西不等式变式：
a1^2/b1 + a2^2/b2 +...an^2/bn ≥（a1+a2+...an）^2/（b1+b2...+bn）
当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立
代入 1/a+4/(1-a)≥(1+2)^2*(a+1-a)=9 当a=1/3是等号取到
(2)还可以把变式证明一遍：
（1/a+4/(1-a)）（a+1-a）=1+4+1*(1/1-a)+4(1-a/a)≥9
2. 如果你不知道，那么观察a，0<a<1可以考虑用三角代换
设 a=(sinx)^2 代入，得到:
1/a+4/(1-a)=((cosx)^2+4(sinx)^2)/(sinxcosx)^2
再三角代换的技巧中，我们最好把它化成齐次式，
于是分子乘上((sinx)^2+(cosx)^2)，再上下同除以(cosx)^4，
化简得4(tanx)^2+1/(tanx)^2+5
4(tanx)^2+1/(tanx)^2+5≥2sqrt(4(tanx)^2+1/(tanx)^2)+5
（sqrt表根号）
所以 原式≥9
3.如果你三角代换没有想到，那就二次函数吧
令y=1/a+4/(1-a) 去掉分母得 ya^2-(3-y)a+1=0
再令f(a)=ya^2-(3-y)a+1 在(0,1)上有根
两根之积为1/y，若y>0则必在(0,1)上有根，直接△≥0
得到y≥9 或y≤1 y=9时， a=1/3成立
所以 原式≥9